برنامه‌ریزی خطی

iconبرنامه‌ریزی خطی

11 دقیقه روش‌های بهبود تصمیم‌گیری اجباری است
5 از 5 (1 رای)

با ما در نشر دانش همراه شوید.

  • facebook
  • twitter
  • linkedin
  • googleplus
  • cloob
  • facenama
  • telegram

اگر منابع محدودی اعم از زمان، پول یا حتی فضای کاری در اختیار دارید، محاسبه‌ی چگونگی به حداکثر رساندن آنها، می‌تواند برای‌تان مفید باشد.

مثلا فرض کنید که در دفتر شرکت‌تان ۵۰ متر مربع فضا دارید که باید به عنوان انبار شرکت از آن استفاده کنید. بودجه‌ای که در اختیار دارید ۳ میلیون تومان است و با این بودجه، از میان کابینت‌های مختلف در انواع مدل‌ها و اندازه‌ها می‌توانید انتخاب کنید. حال چگونه در چارچوب بودجه‌ی اختصاص‌یافته‌ی خود، از فضایی که در اختیار دارید بهترین استفاده را می‌کنید؟

یا فرض کنید که سه کامیون برای تحویل کالا و ۱۰ مقصد برای ارسال کالا در اختیار دارید. چگونه بهترین مسیر و زمان‌بندی برای این کامیون‌ها را برنامه‌ریزی می‌کنید؟

یا تصور کنید که با استفاده از مواد خام اولیه‌ی یکسان، روزانه سه محصول مختلف تولید می‌کنید. اما از آنجا که این محصولات، به مقدار متفاوتی از مواد نیاز دارند، تولید بعضی گران‌تر از بقیه تمام می‌شود. مقداری از مواد خام، فاسدشدنی هستند و باید سریعا استفاده شوند. برای به حداقل رساندن هزینه، از هر محصول چه مقدار باید تولید کنید؟ با چه ترکیبی، کمترین مقدار دورریز را خواهید داشت؟

شاید پرسش‌هایی مانند اینها خیلی پیچیده به نظر برسند. با این همه متغیر و محدودیت‌هایی که باید در نظر بگیرید، چگونه تصمیم می‌گیرید چه کنید؟ پاسخ در استفاده از برنامه‌ریزی خطی نهفته است.

برنامه‌ریزی خطی، تکنیکی محاسباتی است که بهترین روش را برای استفاده از منابع موجود تعیین می‌کند. مدیران برای تصمیم‌گیری درمورد بهترین استفاده‌ی ممکن از منابع محدودی اعم از پول، زمان، مواد یا ماشین‌آلات، از این فرآیند بهره می‌برند.

توجه:
تنها در صورتی می‌توانید از برنامه‌ریزی خطی استفاده کنید که رابطه‌ای خطی بین متغیرها وجود داشته باشد. موقعی می‌گوییم این رابطه خطی است که تغییر واحد در یکی از متغیرها، باعث تغییر هم‌اندازه‌ای در متغیری دیگر شود. رابطه‌ی خطی روی نمودار به‌صورت یک خط مستقیم نشان داده می‌شود.

تکنیک برنامه‌ریزی خطی

برای اینکه بهتر متوجه برنامه‌ریزی خطی بشوید، کار را با یک مثال شروع می‌کنیم. فرض کنید که شرکت شما دو محصول تولید می‌کند، میز (T) و صندلی (C). ظرفیت واحد تولیدتان هم ۵۲۵ ساعت در هفته است. برای تولید هر میز 5 ساعت زمان لازم است و هر صندلی هم در عرض 3 ساعت تولید می‌شود.

تقاضا برای صندلی نامحدود است و هر قدر بتوانید صندلی تولید کنید، مشتری‌ها می‌خرند. از سوی دیگر، میزها حداکثر ۱۰۰ واحد در هفته فروش دارند.

تأمین‌کنندگان‌تان هم می‌توانند مواد خام مورد نیاز برای تولید تنها ۷۵ صندلی را در هفته فراهم کنند. اما مواد خام مورد نیاز میزها، فراوان در دسترس هستند.

سود به ازای هر واحد یا سهم هر واحد عبارت است از ۲۵۰۰ تومان برای هر میز و ۲۰۰۰ تومان برای هر صندلی.

برای به حداکثر رساندن سودتان، چه تعداد میز و صندلی باید در هفته تولید کنید؟

گام اول: مسئله را در قالب ریاضی بیان کنید

میز را با T=Table و صندلی را با C=Chair نشان می‌دهیم.

برای به حداکثر رساندن سود باید حاصل این معادله را بیشینه کنیم. 

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = سود

با توجه به محدودیت‌ها در ظرفیت‌، این معادله‌ها نیز باید برقرار باشند.

 (محدودیت در ظرفیت) ۵T + ۳C ≤ ۵۲۵
(محدودیت در فروش میز) T ≤ ۱۰۰
(محدودیت در تأمین مواد اولیه‌ی صندلی‌ها) C ≤ ۷۵

گام دوم: مسئله را با نمودار نشان دهید

وقتی دو متغیر (یا در مثال ما دو ترکیب محصول) دارید، می‌توانید برای نشان دادن راه‌حل، نمودار رسم کنید. نمودار ابزار فوق‌العاده‌ای برای درک کامل مسئله است. اگر تولید میز را روی محور x و تولید صندلی را روی محور y رسم کنید، نمودارتان حداکثر ظرفیت‌های تولید در همه‌ی ترکیب‌های ممکن از میز و صندلی را نشان می‌دهد.

  • خط ظرفیت را بکشید:
    نقاط انتهاییِ این خط ظرفیت، حداکثر تعداد میز و صندلی‌هایی هستند که می‌توانند تولید شوند.
    شما می‌توانید اینها را تولید کنید:

۰ صندلی و ۱۰۵ میز (۵۲۵/۵) : نقطه‌ی (۱۰۵,۰)
یا
۰ میز و ۱۷۵ صندلی (۵۲۵/۳) : نقطه‌ی (۱۷۵, ۰)

خط ظرفیت، این دو نقطه را به هم متصل می‌کند.

  • برای همه‌ی مقادیر C (صندلی‌ها)، خط محدودیت فروش برای میز T=۱۰۰ را بکشید.
  • برای همه‌ی مقادیر T، خط محدودیت مواد خام برای صندلی C=۷۵ را بکشید.

این سه خط محدودیت در نمودار زیر نشان داده شده‌اند.

برنامه ریزی خطی

منطقه‌ای که با سه خط محدودیت و محورهای x و y محدود شده است، مجموعه‌‌ی ترکیب‌های ممکن از تولید میز و صندلی است. هر چیزی که خارج از این مرزها باشد، با توجه به این محدودیت‌ها و فرض اینکه تولید میز و صندلی بیشتر از صفر است، امکان‌پذیر نیست.

ترکیب بهینه، جایی در امتداد این مرز بیرونی خواهد بود. هیچ جایی درون مرز، از همه‌ی ظرفیت ممکن استفاده نمی‌کند.

گام سوم: ارزش بهینه را محاسبه کنید

حال چگونه می‌فهمید که نقطه‌ی بهینه در این محدوده کجا قرار دارد؟ این نقطه در یکی از چندین نقاطِ تقاطعِ خطوط محدودیت است. در این مثال، چهار نقطه‌ی تقاطع وجود دارد (w، x، y و z). برای تعیین دقیق نقطه‌ی بهینه، باید تک تک این نقاط را بررسی کنید. از آنجا که می‌دانید نقاط w و z نشان‌دهنده‌ی دورترین نقاط در خطوط محدودیت هستند، می‌توانید از محاسبات زیر استفاده کنید:

  • حداکثر سود در نقطه‌ی w

T = ۰, C = ۷۵

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

۱۵۰۰۰۰=(۲۰۰۰x۷۵) + (۲۵۰۰x۰) =سود

  • حداکثر سود در نقطه‌ی x

۵ُT+3C=۵۲۵
C = ۷۵

مقدار C را در معادله‌ی اول عوض و برای T حل کنید:

 ۵۲۵ = (۵T+(۳x۷۵

۳۰۰ =۵T
۶۰ =T

پس در نقطه‌ی x، تولید عبارت است از ۶۰ میز و ۷۵ صندلی

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

(۲۰۰۰x۷۵)+(۲۵۰۰x۶۰)=سود

۱۵۰۰۰۰+۱۵۰۰۰۰= سود
 ۳۰۰۰۰۰ = سود

  • حداکثر سود در نقطه‌ی y

۵T + ۳C = ۵۲۵

T = ۱۰۰

در معادله‌ی اول، مقدار T را ۱۰۰ در نظر بگیرید:

 ۵۲۵ = (۳C+(۵x۱۰۰
۳C = ۲۵
(این رقم به سمت پایین گرد می‌شود چرا که نمی‌توانید قسمتی از صندلی را بفروشید) C = ۸
۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

 (۲۰۰۰x۸)+(۲۵۰۰x۱۰۰) = سود

266000=۲۵۰۰۰۰+۱۶۰۰۰ = سود

  • حداکثر سود در نقطه‌ی z

T = ۱۰۰, C = ۰
۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

250000=(۲۵۰۰x۱۰۰)+(۲۰۰۰x۰ = سود

بر پایه‌ی این محاسبات، تولید بهینه‌ی میز و صندلی در نقطه‌ی x است، یعنی ۶۰ میز و ۷۵ صندلی.

این مثال ساده‌ای از برنامه‌ریزی خطی است. در واقعیت، بیشتر مسائل تجاری آن‌قدر متغیر و محدودیت دارند که نمی‌توانید با محاسبات دستی به راه‌حل برسید. نرم‌افزارهای برنامه‌ریزی خطی می‌توانند معادلات را سریع و به آسانی حل کنند و اطلاعات مفید فراوانی را درمورد نقاط مختلف در مجموعه‌ی ممکن ارائه بدهند. می‌توانید از سناریوهای «چه می‌شود اگر» هم برای تعیین مسائلی همچون «چه ماشین‌آلات دیگری باید خریداری شود؟» یا اینکه «آیا باید شیفت اضافه‌ای نیز برای کارگران در نظر بگیرید یا نه؟»، استفاده کنید.

تهیه شده توسط تیم تحریریه چطور پرو
این محتوا را چطور ارزیابی می‌کنید؟

نظرات